Tìm hiểu công thức cộng vận tốc – Vật lý lớp 10

Hiểu rõ công thức cộng vận tốc là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán vật lý phức tạp. Khái niệm này giúp xác định vận tốc tổng hợp của một vật khi di chuyển trong các hệ quy chiếu khác nhau. Việc nắm vững công thức này không chỉ hỗ trợ trong học tập mà còn ứng dụng trong thực tế, từ chuyển động của ô tô đến vận hành tàu thủy.

Công thức cộng vận tốc là gì

Công thức cộng vận tốc là một khái niệm quan trọng trong vật lý, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các chuyển động trong các hệ quy chiếu khác nhau. Công thức tổng quát để cộng vận tốc được biểu diễn như sau:

\[\vec{v}_{1,3} = \vec{v}_{1,2} + \vec{v}_{2,3}\]

Vậy, các ký hiệu \(v_{12}, v_{23}, v_{13}\) đại diện cho gì?

• \(v_{1,2}\): Đây là vận tốc tương đối của vật 1 so với hệ quy chiếu 2 đang chuyển động. Ví dụ, nếu bạn đang đứng trên một chiếc xe lửa đang chạy, vận tốc của bạn so với chiếc xe lửa này chính là \(v_{1,2}\).
• \(v_{2,3}\): Đây là vận tốc của hệ quy chiếu chuyển động (2) so với hệ quy chiếu đứng yên (3). Trong ví dụ trước, nếu chiếc xe lửa đang di chuyển với một vận tốc nhất định so với mặt đất, thì vận tốc đó là \(v_{2,3}\).
• \(v_{1,3}\): Cuối cùng, đây là vận tốc tuyệt đối của vật 1 so với hệ quy chiếu đứng yên 3. Trong trường hợp này, vận tốc của bạn so với mặt đất khi bạn đang đứng trên chiếc xe lửa đang chạy chính là \(v_{1,3}\).

Ví dụ về công thức cộng vận tốc

Giả sử bạn đang ngồi trên một chiếc tàu hỏa (vật 1) đang di chuyển với vận tốc \(v_{2,3} = 60 \text{ km/h}\) so với mặt đất (hệ quy chiếu đứng yên 3). Trong lúc tàu di chuyển, bạn bước đi dọc theo hành lang của tàu với vận tốc \(v_{1,2} = 5 \text{ km/h}\) so với tàu. Tính vận tốc của bạn so với mặt đất?

Theo công thức cộng vận tốc:

\[\vec{v}_{1,3} = \vec{v}_{1,2} + \vec{v}_{2,3}\]

Ở đây:

• \(\vec{v}_{1,2} = 5 \text{ km/h}\) là vận tốc của bạn so với tàu.
• \(\vec{v}_{2,3} = 60 \text{ km/h}\) là vận tốc của tàu so với mặt đất.

Vậy vận tốc của bạn so với mặt đất là:

\[\vec{v}_{1,3} = 5 \text{ km/h} + 60 \text{ km/h} = 65 \text{ km/h}\]

Như vậy, vận tốc tuyệt đối của bạn so với mặt đất (hệ quy chiếu đứng yên) là \(65 \text{ km/h}\). 

Giải thích:

• \(v_{1,2}\): Bạn đang di chuyển dọc theo hành lang của tàu với vận tốc 5 km/h so với tàu (vật 1 so với hệ quy chiếu chuyển động 2).
• \(v_{2,3}\): Tàu đang di chuyển với vận tốc 60 km/h so với mặt đất (hệ quy chiếu đứng yên 3).
• \(v_{1,3}\): Vận tốc tổng hợp của bạn so với mặt đất, tính bằng cách cộng hai vận tốc trên lại.

Công thức xác định độ lớn vận tốc tuyệt đối

Trong vật lý, để tính toán độ lớn của vận tốc tuyệt đối khi có nhiều vận tốc thành phần và góc giữa chúng, ta sử dụng công thức sau:

\[v_{13} = \sqrt{v_{12}^2 + v_{23}^2 + 2v_{12}v_{23} \cos{\alpha}}\]

Ý nghĩa của các ký hiệu trong công thức:

• \(v_{12}\): Đây là vận tốc của một vật so với hệ quy chiếu chuyển động.
• \(v_{23}\): Đây là vận tốc của hệ quy chiếu chuyển động so với hệ quy chiếu đứng yên.
• \(\alpha\): Góc \(\alpha\) là góc hợp bởi hai vectơ vận tốc \(v_{12}\) và \(v_{23}\).

Công thức này cho phép tính toán chính xác vận tốc tuyệt đối \(v_{13}\) bằng cách kết hợp các thành phần vận tốc và góc hợp giữa chúng. 

Trường hợp vận tốc cùng phương cùng chiều

Khi hai vectơ vận tốc cùng phương và cùng chiều, độ lớn của vận tốc tổng hợp được tính bằng tổng độ lớn của các vectơ vận tốc:

\[\vec{v}_{1,3} = \vec{v}_{1,2} + \vec{v}_{2,3}\]

Trong trường hợp này, vectơ vận tốc \(\vec{v}_{1,3}\) sẽ cùng hướng với cả \(\vec{v}_{1,2}\) và \(\vec{v}_{2,3}\).

Trường hợp vận tốc cùng phương nhưng ngược chiều

Khi hai vectơ vận tốc cùng phương nhưng ngược chiều, độ lớn của vận tốc tổng hợp được xác định bằng hiệu độ lớn của hai vectơ vận tốc:

\[v_{13} = |v_{12} – v_{23}|\]

Về hướng của vectơ vận tốc tổng hợp:

• Nếu \(v_{12} > v_{23}\), vectơ \(v_{13}\) sẽ cùng hướng với vectơ \(v_{12}\).
• Nếu \(v_{12} < v_{23}\), vectơ \(v_{13}\) sẽ cùng hướng với vectơ \(v_{23}\).

Hiểu về tính tương đối của chuyển động

Tính tương đối của quỹ đạo

Quỹ đạo của một vật không phải lúc nào cũng giống nhau khi nhìn từ các hệ quy chiếu khác nhau. Điều này có nghĩa là hình dạng của quỹ đạo phụ thuộc vào vị trí và chuyển động của người quan sát.

Ví dụ minh họa: Khi trời không có gió, một người đứng bên đường sẽ thấy giọt mưa rơi thẳng đứng từ trên xuống. Tuy nhiên, một người ngồi trong ô tô đang chạy sẽ nhìn thấy giọt mưa rơi theo một đường chéo nghiêng. Điều này cho thấy quỹ đạo của giọt mưa là khác nhau trong hai hệ quy chiếu và do đó, quỹ đạo có tính tương đối.

Tính tương đối của vận tốc

Vận tốc của một vật cũng thay đổi khi quan sát từ các hệ quy chiếu khác nhau. Điều này có nghĩa là vận tốc của vật phụ thuộc vào hệ quy chiếu mà ta đang sử dụng để quan sát.

Ví dụ minh họa: Hãy xem xét một hành khách ngồi trên một toa tàu đang di chuyển với vận tốc 45 km/h. Đối với hành khách này, khi anh ta ngồi yên, vận tốc của anh ta so với toa tàu là 0 km/h. Tuy nhiên, đối với người đứng bên đường, hành khách này đang di chuyển với vận tốc bằng vận tốc của toa tàu, tức là 45 km/h. Đây là minh chứng rõ ràng cho thấy vận tốc là một đại lượng mang tính tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu quan sát.

Bài tập ứng dụng về công thức cộng vận tốc

Bài tập 1: Một chiếc thuyền di chuyển trên đoạn đường AB dài 60 km với vận tốc 15 km/h so với nước đứng yên. Tính vận tốc dòng nước, biết rằng tổng thời gian để thuyền đi từ A đến B và quay lại A là 9 giờ.

Lời giải:

Giả sử vận tốc dòng nước là \(v\) km/h.

• Xuôi dòng: Vận tốc của thuyền so với bờ là \(15 + v\) km/h.
• Ngược dòng: Vận tốc của thuyền so với bờ là \(15 – v\) km/h.

Thời gian đi xuôi dòng từ A đến B là \(\frac{60}{15 + v}\) giờ và thời gian đi ngược dòng từ B về A là \(\frac{60}{15 – v}\) giờ.

Theo đề bài, tổng thời gian đi và về là 9 giờ:

\[\frac{60}{15 + v} + \frac{60}{15 – v} = 9\]

Giải phương trình này để tìm \(v\):

\[\frac{60(15 – v) + 60(15 + v)}{(15 + v)(15 – v)} = 9\]

\[\frac{900}{225 – v^2} = 9\]

\[900 = 9(225 – v^2)\]

\[900 = 2025 – 9v^2\]

\[9v^2 = 1125\]

\[v^2 = 125\]

\[v = \sqrt{125} \approx 11.18 \text{ km/h}\]

Vậy, vận tốc dòng chảy là khoảng 11.18 km/h.

Bài tập 2: Một chiếc thuyền chạy ngược dòng từ bến A đến bến B mất 6 giờ và xuôi dòng mất 3 giờ. Tính thời gian để thuyền trôi theo dòng nước từ A đến B khi tắt máy.

Lời giải:

Giả sử vận tốc của thuyền so với nước là \(v\) km/h và vận tốc dòng nước là \(u\) km/h.

• Ngược dòng: \(v – u = \frac{d}{6}\)
• Xuôi dòng: \(v + u = \frac{d}{3}\)

Cộng hai phương trình lại, ta có:

\[2v = \frac{d}{6} + \frac{d}{3} = \frac{d}{2}\]

Suy ra \(v = \frac{d}{4}\).

Thay vào phương trình \(v + u = \frac{d}{3}\):

\[\frac{d}{4} + u = \frac{d}{3}\]

\[u = \frac{d}{3} – \frac{d}{4} = \frac{d}{12}\]

Thời gian để thuyền trôi theo dòng nước là:

\[t = \frac{d}{u} = \frac{d}{\frac{d}{12}} = 12 \text{ giờ}\]

Vậy thời gian thuyền trôi theo dòng nước từ A đến B là 12 giờ.

Bài tập 3: Một chiếc thuyền xuôi dòng từ A đến B với vận tốc dòng nước là 5 km/h. Tính vận tốc thuyền so với nước và chiều dài đoạn đường AB biết rằng thời gian xuôi dòng là 2 giờ và ngược dòng là 3 giờ.

Lời giải:

Gọi vận tốc của thuyền so với dòng nước là \(v\) km/h.

• Xuôi dòng: Vận tốc của thuyền so với bờ là \(v + 5\) km/h.
• Ngược dòng: Vận tốc của thuyền so với bờ là \(v – 5\) km/h.

Thời gian xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là 2 giờ và 3 giờ, nên:

\[\frac{d}{v + 5} = 2, \quad \frac{d}{v – 5} = 3\]

Giải hệ phương trình này:

\[d = 2(v + 5), \quad d = 3(v – 5)\]

\[2(v + 5) = 3(v – 5)\]

\[2v + 10 = 3v – 15\]

\[v = 25 \text{ km/h}\]

Tìm \(d\):

\[d = 2(v + 5) = 2(25 + 5) = 60 \text{ km}\]

Vậy vận tốc của thuyền so với nước là 25 km/h và chiều dài đoạn đường AB là 60 km.

Bài tập 4: Hai chất điểm chuyển động thẳng đều trên hai đoạn đường vuông góc với nhau. Vận tốc của chất điểm 1 là 8 m/s và của chất điểm 2 là 6 m/s.

a) Tính vận tốc của chất điểm 1 so với chất điểm 2.

b) Tính khoảng cách giữa hai chất điểm sau khi chất điểm 2 cách điểm giao nhau 120 m.

Lời giải:

a) Vận tốc của chất điểm 1 so với chất điểm 2:

\[v_{12} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10 \text{ m/s}\]

b) Khoảng cách giữa hai chất điểm sau khi chất điểm 2 cách điểm giao nhau 120 m:

– Thời gian để chất điểm 2 đi 120 m:

\[t = \frac{120}{6} = 20 \text{ s}\]

– Khoảng cách chất điểm 1 đi được trong thời gian đó:

\[d_1 = 8 \times 20 = 160 \text{ m}\]

Khoảng cách giữa hai chất điểm:

\[d = \sqrt{d_1^2 + 120^2} = \sqrt{160^2 + 120^2} = \sqrt{25600 + 14400} = \sqrt{40000} = 200 \text{ m}\]

Vậy khoảng cách giữa hai chất điểm là 200 m.

Bài tập 5: Hai ô tô xuất phát từ hai bến xe A và B cách nhau 20 km trên một đường thẳng. Nếu hai ô tô chạy ngược chiều, chúng gặp nhau sau 15 phút. Nếu chạy cùng chiều, ô tô sau đuổi kịp ô tô trước sau 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô.

Lời giải:

Gọi vận tốc của ô tô 1 là \(v_1\) km/h và ô tô 2 là \(v_2\) km/h.

Ngược chiều: \[(v_1 + v_2) \times \frac{15}{60} = 20\]

\[v_1 + v_2 = 80\]

Cùng chiều: \[(v_1 – v_2) \times 1 = 20\]

\[v_1 – v_2 = 20\]

Giải hệ phương trình:

\[v_1 + v_2 = 80, \quad v_1 – v_2 = 20\]

\[v_2 = 80 – 50 = 30 \text{ km/h}\]

Vậy vận tốc của ô tô 1 là 50 km/h và ô tô 2 là 30 km/h.

Bài tập 6: Một thang cuốn tự động đưa khách từ tầng 1 lên tầng 2 trong 1,4 phút. Nếu không sử dụng thang cuốn, một người đi bộ từ tầng 1 lên tầng 2 mất 4,6 phút. Giả sử vận tốc của thang cuốn và của người đi bộ là không đổi. Hỏi nếu người đó vừa bước đi trên thang cuốn thì thời gian cần thiết để lên từ tầng 1 đến tầng 2 là bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử chiều dài đoạn đường từ tầng 1 lên tầng 2 là \(d\).

• Vận tốc của thang cuốn \(v_t = \frac{d}{1.4}\) km/phút.
• Vận tốc của người đi bộ \(v_p = \frac{d}{4.6}\) km/phút.

Khi người đi bộ trên thang cuốn, vận tốc tổng hợp là \(v = v_t + v_p = \frac{d}{1.4} + \frac{d}{4.6}\).

Thời gian cần thiết để người đó lên tầng 2 khi đi bộ trên thang cuốn là:

\[t = \frac{d}{v} = \frac{d}{\frac{d}{1.4} + \frac{d}{4.6}} = \frac{1.4 \times 4.6}{1.4 + 4.6} \approx1.07 \text{ phút}.\]

Vậy thời gian cần thiết là khoảng 1,07 phút.

Bài tập 7: Xe A di chuyển thẳng về hướng tây với vận tốc 40 km/h, trong khi xe B chạy thẳng về hướng bắc với vận tốc 60 km/h. Hãy tính vận tốc của xe B so với một người ngồi trên xe A.

Lời giải:

Vận tốc tương đối của xe B so với người trên xe A có thể tính bằng định lý Pythagore:

\[v_{BA} = \sqrt{v_A^2 + v_B^2} = \sqrt{40^2 + 60^2} = \sqrt{1600 + 3600} = \sqrt{5200}\approx 72.1 \text{ km/h}.\]

Vậy, vận tốc của xe B so với người ngồi trên xe A là khoảng 72,1 km/h.

Bài tập 8: Một ca nô xuất phát từ A, hướng tới B ở bờ bên kia, nhưng do dòng nước chảy nên ca nô đến điểm C cách B 200 m. Thời gian qua sông là 100 giây. Lần thứ hai, ca nô giữ hướng 60 độ so với bờ sông và chạy với vận tốc như lần đầu để đến đúng B.

a) Tính vận tốc dòng nước và vận tốc của ca nô.

b) Tính bề rộng của dòng sông.

c) Tính thời gian ca nô qua sông lần thứ hai.

Lời giải:

a) Gọi vận tốc dòng nước là \(v_d\) và vận tốc ca nô so với nước là \(v_c\).

Khoảng cách \(BC = 200\) m và thời gian qua sông \(t = 100\) giây. Để tìm \(v_d\):

\[v_d = \frac{BC}{t} = \frac{200}{100} = 2 \text{ m/s}.\]

Ca nô đi theo đường thẳng từ A đến B với vận tốc:

\[v_c = \sqrt{v_{d}^2 + \left(\frac{AB}{t}\right)^2}\]

với \(AB = v_c \times t \sin{60^\circ}\), ta có:

\[AB = v_c \times 100 \times \sin{60^\circ}\]

\[v_c = \frac{AB}{100 \times \sin{60^\circ}}\]

Tìm \(AB\):

\[AB = v_c \times 100 \times \sin{60^\circ}\]

\[v_c^2 = 2^2 + \left(\frac{AB}{100}\right)^2\]

\[v_c = 4 \text{ m/s}.\]

b) Bề rộng dòng sông \(AB\):

\[AB = 100 \times \frac{4}{2} = 200 \text{ m}.\]

c) Thời gian qua sông lần thứ hai:

\[t = \frac{AB}{v_c \cos{60^\circ}} = \frac{200}{4 \times 0.5} = 100 \text{ giây}.\]

Bài tập 9: Một ô tô di chuyển với vận tốc 60 km/h đuổi theo một đoàn tàu dài 200 m. Thời gian để ô tô vượt qua đoàn tàu là 25 giây. Hãy tính vận tốc của đoàn tàu.

Lời giải:

Gọi vận tốc của đoàn tàu là \(v_t\) km/h. 

• Thời gian để ô tô vượt qua tàu hoàn toàn là 25 giây = \(25/3600\) giờ.
• Khoảng cách ô tô cần vượt qua là chiều dài đoàn tàu 200 m + khoảng cách ô tô đi thêm để vượt qua đoàn tàu với tốc độ tương đối \(60 – v_t\) km/h.

\[(60 – v_t) \times \frac{25}{3600} = 0.2\]

\[60 – v_t = \frac{0.2 \times 3600}{25}\]

\[60 – v_t = 28.8\]

\[v_t = 60 – 28.8 = 31.2 \text{ km/h}.\]

Vậy, vận tốc của đoàn tàu là 31,2 km/h.

Bài tập 10: Một hành khách ngồi trên xe lửa với vận tốc 15 m/s nhìn thấy một đoàn tàu khác chạy cùng chiều. Từ lúc nhìn thấy điểm cuối đến lúc nhìn thấy điểm đầu mất 8 giây. Đoàn tàu này có 20 toa, mỗi toa dài 4 m. Tính vận tốc của đoàn tàu.

Lời giải:

Tổng chiều dài đoàn tàu:

\[L = 20 \times 4 = 80 \text{ m}.\]

Khoảng cách mà đoàn tàu này đi qua tương đối với xe lửa là \(L\) trong 8 giây:

\[v_{rel} = \frac{L}{8} = \frac{80}{8} = 10 \text{ m/s}.\]

Vận tốc của đoàn tàu:

\[v_t = 15 – 10 = 5 \text{ m/s}.\]

Vậy, vận tốc của đoàn tàu là 5 m/s.

Nắm vững công thức cộng vận tốc sẽ giúp việc giải các bài toán chuyển động trở nên dễ dàng và chính xác hơn. Kiến thức này không chỉ quan trọng trong việc học tập mà còn hữu ích trong nhiều tình huống thực tế, như tính toán quỹ đạo di chuyển của phương tiện. Ghé thăm vatly.edu.vn để khám phá thêm nhiều kiến thức thú vị và ứng dụng khác của vật lý trong đời sống.